2. 中国科学院上海天文台, 上海 200030
2. Shanghai Astronomical Observatory, Chinese Academy of Sciences, Shanghai 200030, China
研究和计算表明，中国境内区域监测网对北斗三号卫星导航系统(BeiDou-3 navigation satellite system, BDS-3)中地球轨道(medium earth orbits, MEO)卫星的有效跟踪弧段不足全弧段长度的40%，严重影响卫星轨道和钟差测定精度以及系统服务性能[1]。因此，星间链路(inter-satellite link, ISL)成为BDS-3的必然技术选择，是弥补BDS-3海外监测站布设不足，实现境外卫星精确定轨与时间同步，提供全球化服务以及星基增强(satellite based augmentation system, SBAS)、精密单点定位(precise point positioning, PPP)[2]等增强服务的重要基础和保障。基于北斗ISL实测数据，国内学者开展了很多相关研究。成果表明，目前北斗三号ISL测距精度已达到优于10 cm的水平[3-5]。其中，文献[6]基于4颗北斗三号试验卫星进行星地星间联合定轨，相较于仅依赖于星地定轨，联合定轨精度提升明显，轨道径向重叠误差优于0.1 m，三维位置优于0.5 m。文献[7]研究了仅使用ISL数据的试验卫星定轨试验，并通过一个锚固站约束减弱星座整体旋转，IGSO卫星径向重叠弧段精度优于15 cm，MEO卫星优于10 cm。基于我国国际GNSS监测评估系统(international GNSS monitoring & assessment system, iGMAS)全球站星地伪距相位数据和北斗三号ISL数据，文献[8—9]比较了星地定轨和星地星间联合定轨，结果表明联合定轨的轨道三维位置精度优于0.3 m。利用ISL数据和星地双向时频传递数据进行星地星间钟差联合测定，实现了钟差监测的全弧段覆盖[10]。目前，星间链路已成功应用于北斗三号地面运控精密定轨和钟差测定。对北斗三号基本系统评估结果表明，在星间链路支持下，北斗三号广播星历用户距离误差(user range error, URE)优于0.1 m，广播钟差参数预报精度优于1.5 ns，空间信号(signal in space, SIS)精度整体优于0.6 m[11]。
闭环检测是工程科学中一种常用的误差检测与修正方法。例如，在大地导线测量中，要求从已知控制点出发，最终仍回到起点或另一已知点，形成闭合或附合导线，从而构成严密的几何条件，起到检核作用[12-13]；在视觉即时定位与建图(visual simultaneous localization and mapping, V-SLAM)中，通过重复识别同一路标(landmark)完成地图回环检测(loop-closure detection)，修正机器人两次到达该地点之间的历史轨迹及传感器误差[14-15]；在惯导或组合惯导中，则利用载体的静止运动状态开展零速修正(zero velocity update, ZUPT)，从而计算和标定惯性器件的系统误差[16-17]。以上种种，其本质都是找到或创造了一个能够准确识别系统累积误差的参考约束条件，并据此开展误差修正。
闭环检测的思想也同样适用于北斗ISL系统。基于Ka双向时分测量体制的北斗ISL从境内卫星出发，并最终回到境内，因此北斗ISL测量链路理论上能够形成全球范围内的大闭环。然而，由于各类误差因素的影响，北斗ISL测量链路实际上并未严格闭环；相反，在轨数据分析表明，目前链路中仍存在着较大误差残余。本文指出了北斗ISL中的闭环参考约束条件，并对其开展闭环残差检测和分析；在此基础上，对ISL闭环残差进行整网平差处理，实现了对星间相对钟差的误差修正。利用北斗三号卫星在轨实测数据进行了计算与验证。结果表明：本文方法消除了当前链路中所存在的闭环残差现象，减少星间钟差随机噪声30%~50%，有效提高了北斗ISL系统测量以及星间相对钟差测定精度。
1 基于星间链路测量的时间同步北斗星间链路采用Ka星间体制，按照预定路由规划表，每颗卫星采用时分方式与可建链卫星或地面站构建星间、星地测量链路[18]。每次建链，每对卫星分时产生双向星间测距观测量。因此，Ka星间双向测量并非严格意义上的双向同步观测，需根据卫星预报星历和钟差信息，将不同时刻观测量归算至同一时刻[19-20]
(1)
(2)
式中，ρAB(t0)、ρBA(t0)分别为t0时刻卫星A至卫星B、卫星B至卫星A的星间伪距测量值；RA(t0)、RB(t0)分别为t0时刻卫星A和卫星B的轨道位置；ΔtA(t0)、ΔtB(t0)分别为t0时刻卫星A和卫星B的绝对钟差；τAT、τAR为卫星A的发射(transit)时延和接收(receive)时延；τBS、τBR为卫星B的发射时延和接收时延；δρABcor、δρBAcor为单向测距值中可以精确建模的误差改正量，包括卫星天线相位中心偏差、相对论效应等；εAB、εBA为测量噪声；c为光速。
采用双向测距的主要原因是利用双向测量可以解耦得到星间测距观测量和星间时间同步观测量。将式(1)与式(2)分别相加及相减，可分别得到定轨观测方程与时间同步观测方程
(3)
(4)
利用时间同步观测方程(4)，可解算得到卫星A、B之间的星间相对钟差ΔtAB；进一步地，在卫星A、B同时有对地L波段双向测量时，可准确测定卫星A、B的绝对钟差ΔtA和ΔtB，并进而标定ISL设备收发时延[1]。
目前，对于境内弧段卫星，使用星地双向钟差测量值确定其相对于地面北斗时(BeiDou navigation satellite system time, BDT)的绝对钟差，ISL数据不参与境内卫星的钟差测定；对于境外弧段卫星，星地双向时频传递无法完成钟差测定时，通过ISL测定的星间相对钟差与境内卫星的星地双向钟差联立，得到境外卫星相对于BDT的绝对钟差。
2 星间钟差闭环残差检测 2.1 星间链路闭环条件当某条北斗星间测量链路从境内弧段某颗卫星出发，经过与境外弧段卫星之间的测量传递并最终回到境内弧段卫星，此时即构成了全球范围内的ISL大闭环，如图 1所示。
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| 图 1 北斗星间链路全球闭环 Fig. 1 Global closed-loop of BDS ISL |
北斗ISL测量一般经过两颗境外卫星的两次“跳转”后即可回到境内。实际上，北斗全球ISL闭环还具体包括两类不同的情况：一是从境内卫星A出发，并最终回到A，如图 2(a)所示；二是从境内卫星A出发，但最终回到另外一个境内卫星D，如图 2(b)所示。
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| 图 2 两类全球ISL闭环条件 Fig. 2 Two different global closed-loop conditions of BDS ISL |
第1种情况类似于大地测量“闭合导线”条件，境内卫星A经星间Ka波段相对钟差测量和传递回来后所重新得到的钟差Δt′A，理论上应该严格等于卫星A通过L波段星地双向时间比对(two-way satellite-ground time comparison, TSTC)体制所测定得到的绝对钟差ΔtA，从而满足闭合检核条件。第2种情况则类似于大地测量“附合导线”条件，境内卫星A经星间Ka波段相对钟差测量和传递后得到另一境内卫星D的钟差Δt′D。理论上，Δt′D应该严格等于卫星D通过星地L波段TWSTFT体制所测定得到的绝对钟差ΔtD，从而满足附合检核条件。
两类情况不同均可用闭环残差检测，作为约束基准，但其中作为附合条件的第2种情况中不仅包含了星间设备时延标定误差引起的闭合差，还包含了地面天线的时延标定误差(有时甚至能达到1 ns以上)，因此其约束作用要弱于闭合条件，在使用时应当引起注意。
2.2 星间钟差闭环残差计算如上所述，北斗ISL采用双向时分测量体制，同一历元一颗卫星仅与另一颗卫星有归算后的星间相对钟差。因此，为计算星间钟差闭环残差，需要通过插值方法(如三次样条法等)对不同历元所得到的星间钟差数据进行内插计算，以进行时间对齐。
在此基础上，对于某一闭合链路“境内卫星A→境外卫星B→境外卫星C→境内卫星A”，假设两两卫星之间的相对钟差分别为ΔtAB、ΔtBC和ΔtCA，那么它们理论上应该满足
(5)
但由于实际系统及测量误差的存在，上述闭合链路并未严格闭环。因此，其相对钟差闭合残差δΔtABCA为
(6)
对于某一附合链路“境内卫星A→境外卫星B→境外卫星C→境内卫星D”，假设两两卫星之间的相对钟差分别为ΔtAB、ΔtBC和ΔtCD，卫星A、D的绝对钟差分别为ΔtA和ΔtD，那么它们理论上应该满足
(7)
但由于实际系统及测量误差的存在，上述附合链路也并未严格闭环。因此，其星间相对钟差闭合残差δΔtABCD为
(8)
以上给出了北斗ISL的两种闭环条件及其残差计算方法。与此同时，类似大地导线和高程水准测量内业，在进行残差改正之前，也可以根据北斗ISL实际测量误差水平推导给出上述闭环残差的容许范围(限差)。
目前，北斗Ka波段ISL双向测距误差σISL为0.3 ns左右(RMS)[1, 19]。卫星星间钟差实际上是经过历元归化处理后的星间双向观测值之差，归化精度取决于卫星预报速度和预报钟速的精度。由于观测历元与目标归化历元的时间差小于3 s，卫星预报速度误差约为0.1 mm/s，预报钟速误差约为1×10-13 s/s，因此归一化处理的误差小于1.0 cm，在当前残差限差的计算中可忽略不计。以三星闭合链路为例，根据误差传播定律，三星闭合链路(A→B→C→A)的星间钟差闭合残差中误差σδΔtABCA满足
(9)
参考大地导线测量，取2倍中误差作为闭合残差限差σδΔtABCA限，则有
(10)
对于全球附合链路(A→B→C→D)，由于ISL测量值最终回到另外一颗境内卫星D，因此在计算ISL闭合残差时需要考虑卫星A和D的地面绝对钟差ΔtA、ΔtD的误差σΔtA、σΔtD。目前，北斗星地双向绝对钟差测定精度约0.2 ns(RMS)[21]，可认为σΔtA=σΔtD=0.2 ns。因此，全球附合链路的星间钟差闭合残差中误差σδΔtABCD满足
(11)
同样取两倍中误差作为闭合残差限差，则有
(12)
当某条ISL链路闭合残差在限差范围以内时，符合平差处理条件；否则，应予以重点检测和分析。
3 闭环残差整网平差改正在计算得到各条ISL链路星间钟差闭合残差的基础上，可对其开展整网间接平差处理。假设某一对齐时刻，n颗卫星之间共存在m条不同组合的闭环星间链路。那么，以各条星间闭环链路的闭合残差为观测量，以其中n－1颗卫星相对于剩余卫星的星间相对钟差作为待估参数，可建立间接平差误差方程[13]
(13)
式中，L为各条星间闭环链路的闭合残差所组成的观测量向量；V为误差观测量向量；l为误差方程自由项，维数均为m×1；X0为待估参数向量X的近似值向量；
若对各闭合残差观测量取等权，则待估参数改正值向量
(14)
将式(14)代入误差方程(13)可求得误差观测量向量V，并分别修正得到星间闭环链路闭合残差观测量向量L的平差值
(15)
计算过程中，待估参数向量X的近似值X0的初值可取零，并迭代计算得到
根据式(4)，通过将双向伪距测量值进行历元归算后得到同一时刻的星间测距值，可进而获得星间相对钟差，一般将该“同一时刻”选为双向测距值所在整3 s的起始时刻。此外，与精密定轨不同，由于星间钟差同步是一种相对时间基准传递，且卫星轨道与钟差之间相互独立，因此无法使用精密星历作为参考来分析星间钟差的精度。在研究和实际工程当中，目前通常采用残差拟合与分析的方法来评估星间钟差测定精度。
采用北斗三号在轨卫星2020年1月某日的星间钟差数据进行计算和分析。首先，在完成各卫星星间相对钟差解算后，从全天星间观测数据中挑选出所有星间闭合链路(附合链路暂未参与计算)。然后，采用三次样条法将不同历元星间钟差数据内插至整分钟时刻，以完成时间对齐。
参与计算的北斗卫星见表 1。
| 卫星PRN号 | 轨道类型 |
| 38 | IGSO |
| 39 | IGSO |
| 40 | IGSO |
| 25 | MEO |
| 26 | MEO |
| 27 | MEO |
| 28 | MEO |
| 29 | MEO |
| 30 | MEO |
| 19 | MEO |
| 20 | MEO |
| 21 | MEO |
| 22 | MEO |
| 23 | MEO |
| 24 | MEO |
| 32 | MEO |
| 33 | MEO |
| 34 | MEO |
| 35 | MEO |
| 36 | MEO |
| 37 | MEO |
| 45 | MEO |
| 46 | MEO |
| 59 | GEO |
在当天所有闭环链路中，共获得1208组三星闭合链路，其中闭合残差最大达1.143 ns(RMS)、平均为0.275 ns(RMS)，说明北斗全球ISL链路中确实存在着明显的非零闭合残差。此外，很多链路的闭合残差还呈现明显的常数偏差或周期性波动变化，反映出系统性有色误差的存在。其中，部分代表性闭环链路的闭合残差结果见图 3所示。
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| 图 3 平差修正后的闭环链路残差 Fig. 3 Closed-loop link residuals after adjustment |
4.2 星间钟差闭合差修正
按照上文整网平差修正方法，对时间对齐后(对齐至整分钟时刻)的星间链路数据逐历元进行闭合残差的平差修正，并重新统计各历元各条星间闭环链路的闭合残差。可知，修正后的ISL闭合残差RMS均在4×10-5~5×10-5 ns量级、平均为4.99×10-5 ns，已达到北斗系统ISL星间链路数据的计算截断误差水平，说明该方法已彻底消除了星间钟差不闭合的现象。其中，部分代表性ISL闭合残差的平差修正结果见图 4所示(部分非严格为零的闭合差结果为计算截断误差)。
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| 图 4 全球闭环链路星间钟差闭合残差 Fig. 4 Inter-satellite clock offset closed residual of global closed-loop link |
短时间内(一般约24 h内)的卫星星间相对钟差变化曲线很好地符合多项式模型，利用多项式进行拟合处理，拟合残差可认为是ISL双向测距的噪声水平，是评价ISL测量噪声和星间钟差误差的常用手段。对平差前后的星间相对钟差分别进行二次多项式拟合和统计，部分代表性星间钟差拟合残差结果见图 5所示。
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| 图 5 平差前后的星间钟差拟合残差结果对比 Fig. 5 Comparison of inter-satellite clock offset fitting residuals before and after adjustment |
由上述计算结果可知，平差后的各组星间钟差拟合残差下降了30%~50%，显著减少了现有星间测量噪声与星间钟差误差。
5 总结ISL是BDS-3弥补海外监测站布设不足，实现境外卫星精密定轨与时间同步的重要技术手段，完善和提高ISL性能对于BDS-3而言具有重要意义。本文基于工程科学中的“闭环检测”思想，指出了北斗系统ISL全球链路中所存在的有利闭环约束条件。对北斗ISL全球链路闭合差进行了检测和分析，结果表明当前系统链路中确实存在着显著的常数性或周期性非零闭合残差，反映了系统中有色误差的存在。在此基础上，构建了针对ISL闭合残差的整网平差模型，实现了对北斗卫星星间相对钟差的修正。基于BDS-3的在轨实测数据计算表明：本文方法基本消除了BDS-3星间钟差不闭合的现象，经整网平差修正处理后的星间钟差随机噪声减少了30%~50%，有效提高了北斗ISL测量及星间相对钟差测定的精度，对提升北斗ISL性能与系统服务能力具有重要意义。
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