守时试验室和全球导航卫星系统(GNSS)都需要利用多台原子钟组成钟组,建立和保持一个时间基准[1-4]。守时本质上是个预测问题,即需要通过原子钟的历史表现来预测其未来表现[5-8]。国际上已经达成共识[8]:一个好的钟应该是一个可预测的钟(a good clock is a predictable clock)。可预测性的一个重要体现是原子钟信号没有异常[8]。建立一个实时的、可预测的纸面时间,需要在异常发生后尽可能短的时间内检测出异常;根据异常的严重等级,合理降低其权重甚至剔除出钟组,尽可能降低异常对于纸面时间的影响[8]。
频率异常检测的性能是与原子钟的噪声水平高度相关的。典型氢钟的闪烁底(flicker floor,即Allan偏差最小值)一般在10-15~10-16量级,而典型铯钟的闪烁底只能达到10-14~10-15量级。这就导致相对于氢钟,铯钟10-14量级的频率异常可能淹没在噪声之中,从而更不容易检测,因而其对纸面时间的影响也更大。
国内外检测频率异常的研究方法包括:动态Allan方差法[9-11]、时-频谱分析法[9, 12]、假设检验法[11, 13-16]。动态Allan方差法对微小频率异常的反应时间较长;时-频谱分析法比较适用于检测时变信号或是周期性波动等在频谱上出现明显谱线的异常;假设检验法较适用于频率异常的检测。
假设检验法的核心是设计合理的检验统计量和相应的检测门限值。检测门限值是由检验统计量的统计特性以及虚警概率(PFA)决定的。进一步,可以推导出检测概率(PD)和PFA、平均频率跳变幅度(|Ya|)之间的函数关系。一般认为检验统计量的统计特性是先验已知的,这在大部分情况下都是可行的。因为对于某一台原子钟,其噪声的统计特性一般不会发生很大的改变。当检验统计量的统计特性未知,可以采用广义似然比(generalized likelihood ratio test,GLRT)的方法,在检验统计量的分布函数中用最大似然估计结果代替未知参数。因此,GLRT法[11]可以看成是假设检验法的特例。
目前的研究中,文献[13]只分析了不同PFA的试验效果,也就是只进行了第一步,没有从理论上进一步推导不同|Ya|对应的PD;包括采用GLRT法在内的大部分假设检验法的检验统计量都是频差[11, 14-16],例如文献[14-15]采用的检验统计量分别为Kalman滤波器输出的频差的一步和多步预测误差,没有充分利用频率异常在时差上的积累效应。
本文基于文献[17-18]等描述的典型铯钟的钟差预测不确定度的解析表达式,将时差的预测误差作为检验统计量,这一点与文献[11, 14-16]有所不同。本文认为原子钟的噪声特性可以先验得到,所以在算法中是已知的,不需要再采用GLRT法来估计参数。进一步,按照文献[19-20]的思路,结合预测误差的概率分布函数,推导了不同PFA对应的检测门限和PD的计算公式,并总结了提高PD的方法。根据本文的理论分析结论,只要给出PFA和|Ya|的值,即可计算得到PD,这为铯原子钟的频率异常检测提供了理论支撑。后续还可以将本文算法的性能与大部分采用频差作为检验统计量的算法[11, 14-16]进行对比分析,进一步优化算法设计。
1 基本原理 1.1 原子钟信号式中,等号右侧前2项为一次多项式表示的确定性分量,后2项为随机性分量,即原子钟噪声;X1代表原子钟时差;x0和y0分别代表时差和频差的初值;W1(t)和W2(t)分别代表 2个独立的维纳过程,并且有W(t)~N(0, t),即每个维纳过程服从数学期望为0,方差为时间t的正态分布;σ1和σ2分别是这2个维纳过程的扩散系数(diffusion coefficients),用于表明噪声的强度;第3项代表调频白噪声(white frequency modulation noise,WFM);第4项代表调频随机游走噪声(walk random frequency modulation noise,RWFM),即W1(t)、W2(t)的积分在X1上分别表现为WFM和RWFM。
WFM和RWFM都是有色噪声[25],一般采用Allan方差来表征频率稳定度[26]。Allan方差表达式为[21-23]
式中,τ为平滑时间。式(2)等号右侧第1项为WFM分量,第2项为RWFM分量,表明WFM和RWFM在对数Allan方差图中的斜率分别为-1和1。
式(1)中的原子钟噪声服从正态分布,数学期望为0,方差为[19, 21]
式中,等号右侧第1项是WFM的方差;第2项是RWFM的方差,它们都随时间的变大而变大。观察式(2)和式(3),得到
采用文献[27]的方法生成参数相同的100台铯钟(确定性分量x0=y0=0)。每台仿真铯钟的平方扩散系数为(σ12, σ22)=(4.8×10-23s, 1.9×10-36s-1),符合中国国家授时中心(NTSC)代号2142的铯钟性能[19]。
图 1展示了这100台仿真铯钟的时差(绿色曲线),以及式(3)的1倍和2倍平方根计算得到的1σ和2σ噪声标准差(黑色加粗曲线)。从图 1清楚地看出噪声标准差随时间的变大而变大。
1.2 钟差预测基本原理
式中,Z(tk)是在tk时刻的观测钟差;ξ(tk)是在tk时刻的观测噪声,一般认为是调相白噪声(white phase modulation noise,WPM);σ代表观测噪声的强度。
钟差预测算法是通过过去时间段[t0-T, t0]的观测钟差,预测未来时间段[t0, t0+tp]的钟差,如图 2所示。在估计得到了预测起点时刻t0的时差
预测误差由[预测值-真实值]来表示。由式(1)和式(6),预测误差表示为
由(7)看出,ε(tp)包含两部分,其中
由于W1(t)和W2(t)是随机过程,对于某个具体的tp值,W1(tp)和W2(tp)是随机变量,显然从式(1)中估计得到的
将ε1(tp)中第1项的不确定度记为
维纳过程具有以下性质
当t≥s时
式中,cov代表协方差;min代表最小值。当t=s时,协方差实际上就是方差。
根据维纳过程和白噪声的性质,推导得到
于是得到
同理,根据维纳过程的性质,推导得到
将式(13)-(15)代入式(8),得到
预测不确定度u(tp)为式(16)的平方根。1σ预测不确定度和2σ预测不确定度从统计意义上分别代表了预测误差的68%和95%的置信区间。
1.3 观测间隔选取本地的钟差测量不确定度可做到优于0.1 ns(σ2=1×10-20 s2),当预测时间tp不是太短时,其影响基本可以忽略。假设σ2=0,将式(2)代入式(16),得到
式中,u2(tp)包含2项;对于给定的tp,第2项的值不变;当选择观测间隔T等于Allan方差曲线(一般为V字形)取最小值对应的平滑时间值(记为Tmin)时,第1项取最小值,于是u2(tp)取最小值。对于与图 1相同参数的典型铯钟,使第1项取最小值的T约等于100 d。
图 3给出了取(σ12, σ22, σ2)=(4.8×10-23s, 1.9×10-36 s-1, 1×10-20s2),观测间隔T=100 d,对于不同预测时间tp,由式(16)计算得到的u(tp)(黑色曲线),以及前3项的平方根(红色曲线)和第4项(即式(17)的第2项)的平方根σy(tp)tp(绿色曲线)。
从图 3得出结论:预测时间较短即当tp≪T时,u(tp)仅略大于σy(tp)tp;这时预测性能主要由原子钟噪声决定。
从直观上理解:假设时差和频差的估计误差都一直为零,这相当于估计值与真实值完全相同(实际上是不可能的),此时按照式(7),如果忽略观测噪声,预测误差完全就是原子钟噪声,噪声方差随时间变大,如图 1所示。
进一步,表 1列出了当(σ12, σ22, σ2)=(4.8×10-23 s, 1.9×10-36 s-1, 1×10-20 s2)时,按照式(16)计算的不同T和tp对应的u(tp)和σy(tp)tp的值。
T/d | tp | u(tp)/s | σy(tp)tp/s |
10 | 4 h | 8.44×10-10 | 8.31×10-10 |
20 | 4 h | 8.41×10-10 | 8.31×10-10 |
30 | 4 h | 8.40×10-10 | 8.31×10-10 |
10 | 1 d | 2.14×10-9 | 2.04×10-9 |
20 | 1 d | 2.09×10-9 | 2.04×10-9 |
30 | 1 d | 2.08×10-9 | 2.04×10-9 |
从表 1可以看出,当tp≪T且T≤Tmin时,u(tp)仅略大于σy(tp)tp。
2 频率异常检测算法 2.1 基本思路通过对比分析预测误差和预测不确定度,提供了一种检测原子钟频率异常检测的方法[19],即当异常发生在未来时间段[t0, t0+tp]时,在某个t时刻(t>t0)及之后时间段的预测误差一直大于某个门限值,认为在t时刻频率发生了跳变。
本节首先选取门限值等于3σ预测不确定度的理论值为示例进行说明,再推广到一般情况。预测误差落在±1σ、±2σ和±3σ预测不确定度范围内的理论概率分别为68.26%、95.44%和99.74%[28]。从理论上讲,预测误差大于3σ预测不确定度的概率很小,仅为1-99.74%=0.26%。
2.2 频率跳变检测方法本文方法等价于做如下二元假设检验。
H0—未发生频率跳变。
H1—发生频率跳变。
选取预测误差ε(tp)作为检验统计量。首先需要确定在这两种假设下,检验统计量的数学分布。
H0情况下,显然预测误差服从N(0, u2(tp))分布。
H1情况下,假设跳变发生在[t0, t0+tp]的中间时刻,记为t0+tp-Tjump时刻,其中0 < Tjump < tp;跳变幅度为Y0,显然,在[t0, t0+tp]时间段内的平均频率跳变幅度为
所以,在[t0, t0+tp]时间段内积累的时差为
这时预测误差服从N(Yatp, u2(tp))分布。
综上,在这两种假设下统计量的数学分布为
将H0为真时判H1成立的概率称为虚警概率,用PFA表示[25]。把H1为真时判H1成立的概率称为检测概率,用PD表示[25]。PFA的值也被称为显著性水平[28]。
本文通过约束PFA,求解不同Ya对应的PD。
如前文所述,ε(tp)落在±u(tp)、±2u(tp)和±3u(tp)范围内的概率分别为68.26%、95.44%和99.74%,对应的PFA分别为1-68.26%=31.74%、1-95.44%=4.56%和1-99.74%=0.26%[28]。
以约束PFA=0.26%为例。直观上理解,假如|Ya|tp=3u(tp),显然有PD=50%;那么当|Ya|tp>3u(tp)时,PD>50%;当|Ya|tp < 3u(tp)时,PD < 50%。因此,当约束PFA时,PD是与|Ya|正相关的;|Ya|越大,PD越大。
具体而言,以约束PFA=0.26%为例,根据式(20),推导出检测概率的表达式为
由式(21)可以求解得到任意Ya对应的PD。
2.3 示例分析和更一般的情况以(σ12, σ22)=(4.8×10-23 s, 1.9×10-36 s-1)的典型铯钟为例,取σ2=1×10-20 s2,按照T=20 d和tp=1 d进行钟差预测,u(tp)的计算结果对应表 1倒数第2行。约束PFA=0.26%,然后,根据式(21),计算不同|Ya|值对应的PD值。图 4给出了在这种情况下的PD-|Ya|曲线。
从图 4中看出,PD随着|Ya|的增大而增大;当|Ya|=3u(tp)/tp=7.26×10-14时,PD=50%(图中圆圈),即直观认识与式(21)计算结果是符合的。
服从标准正态分布的随机变量X的分布函数用ϕ(x)来表示[28]。几个关键数值为ϕ(-3)=0.001 3,ϕ(-2)=0.022 8,ϕ(-1)=0.158 7,ϕ(0)=0.5,ϕ(1)=0.841 3,ϕ(2)=0.977 2,ϕ(3)=0.998 7[28]。
前文所述的“ε(tp)落在±u(tp)、±2u(tp)和±3u(tp)范围内的概率分别为68.26%、95.44%和99.74%”,对应于ϕ(1)-ϕ(-1)=68.26%、ϕ(2)-ϕ(-2)=95.44%和ϕ(3)-ϕ(-3)=99.74%[28]。
显然,在H1情况下,统计量ε(tp)的分布函数为
所以,对于该实例,在约束PFA=0.26%时,不同|Ya|对应的PD如表 2所示。
σy(tp) | σy(tp)tp | u(tp) | |Ya| | PD |
2.36×10-14 | 2.04×10-9 s | 2.09×10-9 s | u(tp)/tp=2.42×10-14 | 0.022 8 |
2u(tp)/tp=4.84×10-14 | 0.158 7 | |||
3u(tp)/tp=7.26×10-14 | 0.5 | |||
4u(tp)/tp=9.68×10-14 | 0.841 3 | |||
5u(tp)/tp=1.21×10-13 | 0.977 2 | |||
6u(tp)/tp=1.45×10-13 | 0.998 7 |
由图 4和表 2看出:当|Ya|>4u(tp)/tp时,可以比较有效地检测出异常;当|Ya|>1.05×10-13时,检测概率在90%以上;当|Ya|较小(例如 < 3u(tp)/tp)时,检测效果并不显著。
上述示例中约束PFA=0.26%,对应的ε(tp)门限值为±3u(tp)。在更一般的情况下,可以约束PFA=5%、PFA=1%、PFA=0.1%等。这时,对应的ε(tp)门限值±γ需要查询分布函数ϕ(x)的函数表来确定,具体方式是使ϕ(γ)-ϕ(-γ)=1-PFA。例如,当约束PFA=5%时,查阅ϕ(x)的函数表,得到γ=1.96u(tp)。然后,需要将式(21)中积分下限(上式)或上限(下式)分别修改为γ和-γ,得到式(23)。根据式(23),可以求解得到任意幅度|Ya|对应的PD值。
按照文献[27]的方法,仿真生成10 000台参数为(σ12, σ22, σ2)=(4.8×10-23 s, 1.9×10-36 s-1, 1×10-20 s2)的典型铯钟。按照T=20 d和tp=1 d进行钟差预测。选取γ=3u(tp),即约束PFA=0.26%。分别设置式(18)中Y0=6u(tp)/tp且Tjump=tp/2(即在t0+12 h时刻发生频率跳变),这时Ya=3u(tp)/tp。然后重复上述步骤,再次仿真生成同样参数的另10 000台典型铯钟。设置Y0=8u(tp)/tp且Tjump=tp/2,这时Ya=4u(tp)/tp。按照表 2,理论上这两种情况下PD分别为50%和84.13%。
图 5和图 6分别给出了在Ya=3u(tp)/tp和4u(tp)/tp的情况下时,两次各10 000台铯钟的预测误差ε(tp)。从图 5和图 6中明显看出在t0+tp/2时刻发生的频率跳变。
分别统计在这两种情况下ε(tp)落在±3u(tp)外的铯钟数量,作为本文方法检测出频率跳变异常的数量。在这两种情况下,能检测出频率跳变异常的数量分别为5067台和8502台。
表 3列出了在这两种情况下,理论PD值、实际检测数量和相应的试验PD值。
表 3说明,试验PD值和理论PD值基本符合。
综上,仿真试验验证了理论分析的结论。
3.2 实测数据分析采用某1台5071A铯钟的实测数据进行分析,其参数为(σ12, σ22, σ2)=(4×10-23 s, 6×10-37 s-1, 1.6×10-21 s2)。其钟差和钟差的一次多项式残差分别如图 7(a)、(b)所示,长度共46 d。
人为在第39.5 d处引入幅度为8×10-14的频率跳变。共进行20次预测,都选取T=20 d和tp=3 d。第1次预测从第20 d开始,之后每次预测开始时间往后移1 d,最后1次预测开始时间为第39 d。共获得20组预测误差曲线。选取γ=3u(tp),即约束PFA=0.26%。
图 8给出了这20组预测误差曲线以及3σ预测不确定度曲线,其中第20组为红色(当tp等于1 d、2 d和3 d时标注圆圈),第19组为蓝色(当tp等于1 d、2 d和3 d时标注方块),其余18组为绿色。从图 8看出:对于第20组,相当于在tp=0.5 d时发生了异常,当tp=1 d时未检测出异常,tp=2 d和tp=3 d时成功检测出了异常;对于第19次预测,相当于在tp=1.5 d时发生了异常,当tp=2 d时未检测出异常,当tp=3 d时成功检测出了异常。
表 4列出了对于第20组和第19组,当tp分别等于1 d、2 d和3 d时,按照式(16)计算得到的γ、按照式(18)计算得到的Ya、按照式(23)计算得到的理论PD值、实际检测情况(图 8)。
时间/d | tp=1 | tp=2 | tp=3 |
γ=3u(tp)/ns | 5.72s | 8.28 | 10.37 |
Ya(第20组) | 4×10-14 | 6×10-14 | 6.67×10-14 |
理论PD值(第20组)/(%) | 11.70 | 77.64 | 97.72 |
实际检测情况(第20组) | 未检测到 | 成功检测 | 成功检测 |
Ya(第19组) | 0 | 2×10-14 | 4×10-14 |
理论PD值(第19组)/(%) | 0.1 | 4.01 | 50 |
实际检测情况(第19组) | 未检测到 | 未检测到 | 成功检测 |
综上,实测数据试验验证了理论分析的结论。根据本文的理论分析和仿真试验,还可以进一步得到以下结论。
(1) PD和PFA、|Ya|之间存在函数关系,约束PFA、|Ya|之中任意一个量的值,可以得到PD和另一个量的函数曲线。
图 4给出了PD-|Ya|曲线。实际上,当约束|Ya|时,还可以画出PD-PFA曲线,这就是著名的接收机工作特性(receiver operating characteristic,ROC)曲线,分析在不同|Ya|情况下不同PFA值对应的PD值,可以更合理地选取PFA的值。
(2) 根据ROC曲线,对于相同的|Ya|,假如PFA值更大,相应的PD也更大。
例如,当T=20 d和tp=1 d时,根据表 2,假如将PFA值由0.26%提高至4.56%,相当于将检测门限γ由±3u(tp)降低至±2u(tp),原来|Ya|=3u(tp)/tp=7.26×10-14时,才有PD=50%,现在只需要|Ya|=2u(tp)/tp=4.84×10-14时,就有PD=50%,而当|Ya|依然为3u(tp)/tp=7.26×10-14时,PD=84.13%。
(3) 当tp≪T且T≤Tmin时,对于相同的PFA,假设|Ya|保持不变,增加tp,可以有效增大PD。
例如:当T=20 d,约束PFA=0.26%时,如果tp=1 d,当Ya=3u(1 d)/1 d=7.26×10-14时,有PD=50%;如果tp=2 d,当Ya依然为7.26×10-14时,根据式(21)计算,有PD=87.36%;如果tp=2 d,此时只要Ya=3u(2 d)/2 d=5.26×10-14,即有PD=50%。从直观上理解:预测时间tp越长,由频率跳变引起的积累时差越大,即式(20)中的|Ya|tp变大,所以PD增大。
(4) 进一步,当tp≪T且T≤Tmin时,对于同样的Y0,增加tp,使得|Ya|也相应地变大,|Ya|和tp同时增大使PD增大的效果更显著。
例如,依然采用上述情况,假设在t0+12 h时刻发生频率跳变,幅度为Y0=6u(1 d)/1 d=1.45×10-13,如果tp=1 d,按照(18)计算得到Ya=Y0/2=7.26×10-14,这时根据式(21)计算,有PD=50%;如果tp=2 d,按照(18)计算得到Ya=3Y0/4=1.14×10-13,这时根据式(21)计算,有PD=99.93%,即基本可以检测出异常。所以,对于同样的Y0,增加tp,相当于使式(20)中的|Ya|和tp都增大,所以|Ya|tp将变得更大,从而PD更高。
4 结束语本文提出一种基于钟差预测的铯原子钟频率异常的检测算法。本算法采用假设检验的方法,检测概率(PD)和虚警概率(PFA)、平均频率跳变幅度(|Ya|)之间存在函数关系。为了充分利用频率异常体现在时差上的积累效应,本算法将时差的预测误差作为检验统计量,对检验统计量做二元假设检验。在两种情况下,检验统计量都服从正态分布。通过约束PFA,查询正态分布的分布函数,得到对应的检测门限值。根据在异常情况下的检验统计量分布函数和检测门限值,推导给出了求解|Ya|对应的PD的表达式。仿真试验和实测数据试验都验证了理论分析的结论。
在实际应用中,由于算法已经约束了PFA,一旦算法给出报警,那么极有可能发生了频率异常(发生异常的概率为1-PFA),此时需要进行人工干预。|Ya|越大,PD也就越高。根据本文的分析结论,提高PD的方法有:①提高PFA(相当于降低γ,尽管会增加系统报警的频度);②增加tp(当tp≪T且T≤Tmin时,相当于同时增大了|Ya|和tp)。本文成果还可以应用于精密定轨与时间同步领域[29]。
[1] |
WHIBBERLEY P B, DAVIS J A, SHEMAR S L. Local representations of UTC in national laboratories[J]. Metrologia, 2011, 48(4): S154-S164. DOI:10.1088/0026-1394/48/4/S05 |
[2] |
LEWANDOWSKI W, ARIAS E F. GNSS times and UTC[J]. Metrologia, 2011, 48(4): S219-S224. DOI:10.1088/0026-1394/48/4/S14 |
[3] |
杨元喜. 北斗卫星导航系统的进展、贡献与挑战[J]. 测绘学报, 2010, 39(1): 1-6. YANG Yuanxi. Progress, contribution and challenges of compass/BeiDou satellite navigation system[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2010, 39(1): 1-6. |
[4] |
杨元喜. 综合PNT体系及其关键技术[J]. 测绘学报, 2016, 45(5): 505-510. YANG Yuanxi. Concepts of comprehensive PNT and related key technologies[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2016, 45(5): 505-510. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20160127 |
[5] |
PANFILO G, ARIASE F. Algorithms for international atomic time[J]. IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control, 2010, 57(1): 140-150. DOI:10.1109/TUFFC.2010.1390 |
[6] |
PANFILO G, ARIAS E F. Studies and possible improvements on the EAL algorithm[J]. IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control, 2010, 57(1): 154-160. DOI:10.1109/TUFFC.2010.1392 |
[7] |
PANFILO G, HARMEGNIES A, TISSERAND L. A new prediction algorithm for the generation of international atomic time[J]. Metrologia, 2012, 49(1): 49-56. DOI:10.1088/0026-1394/49/1/008 |
[8] |
PANFILO G, HARMEGNIES A, TISSERAND L. A new weighting procedure for UTC[J]. Metrologia, 2014, 51(3): 285-292. DOI:10.1088/0026-1394/51/3/285 |
[9] |
GALLEANI L, TAVELLA P. Detection and identification of atomic clock anomalies[J]. Metrologia, 2008, 45(6): S127-S133. DOI:10.1088/0026-1394/45/6/S18 |
[10] |
GALLEANI L, TAVELLA P. The dynamic Allan variance[J]. IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control, 2009, 56(3): 450-464. DOI:10.1109/TUFFC.2009.1064 |
[11] |
NUNZI E, GALLEANI L, TAVELLA P, et al. Detection of anomalies in the behavior of atomic clocks[J]. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 2007, 56(2): 523-528. DOI:10.1109/TIM.2007.891118 |
[12] |
GALLEANI L. Detection of changes in clock noise using the time-frequency spectrum[J]. Metrologia, 2008, 45(6): 143-153. DOI:10.1088/0026-1394/45/6/S20 |
[13] |
LEES W, KIM J, LEEY J. Protecting signal integrity against atomic clock anomalies on board GNSS satellites[J]. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 2011, 60(7): 2738-2745. DOI:10.1109/TIM.2011.2144210 |
[14] |
GALLEANI L, TAVELLA P. Detection of atomic clock frequency jumps with the Kalman filter[J]. IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control, 2012, 59(3): 504-509. DOI:10.1109/TUFFC.2012.2221 |
[15] |
HUANG Xinming, GONG Hang, OU Gang. Detection of weak frequency jumps for GNSS onboard clocks[J]. IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control, 2014, 61(5): 747-755. DOI:10.1109/TUFFC.2014.2967 |
[16] |
GALLEANI L, TAVELLA P. Robust detection of fast and slow frequency jumps of atomic clocks[J]. IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control, 2017, 64(2): 475-485. DOI:10.1109/TUFFC.2016.2625311 |
[17] |
WU Yiwei, ZHU Xiangwei, HUANG Yangbo, et al. Uncertainty derivation and performance analyses of clock prediction based on mathematical model method[J]. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 2015, 64(10): 2792-2801. DOI:10.1109/TIM.2015.2418683 |
[18] |
WU Yiwei, ZHU Xiangwei, HUANG Yangbo, et al. Optimal observation intervals for clock prediction based on the mathematical model method[J]. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 2016, 65(1): 132-143. DOI:10.1109/TIM.2015.2477158 |
[19] |
伍贻威.GNSS时间基准关键技术研究[D].长沙: 国防科技大学, 2016. WU Yiwei. Key technologies of GNSS time scale[D]. Changsha: National University of Defense Technology, 2016. |
[20] |
伍贻威. GNSS时间基准关键技术研究[J]. 测绘学报, 2017, 46(4): 533. WU Yiwei. Key technologies of GNSS time scale[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2017, 46(4): 533. DOI:10.11947/j.AGCS.2017.20160660 |
[21] |
伍贻威, 朱祥维, 龚航, 等. 建立GNSS时间基准的构想和思考[J]. 电子学报, 2017, 45(8): 1818-1826. WU Yiwei, ZHU Xiangwei, GONG Hang, et al. Concepts and thoughts of forming a GNSS time scale[J]. Acta Electronica Sinica, 2017, 45(8): 1818-1826. DOI:10.3969/j.issn.0372-2112.2017.08.003 |
[22] |
TAVELLA P. Statistical and mathematical tools for atomic clocks[J]. Metrologia, 2008, 45(6): S183-S192. DOI:10.1088/0026-1394/45/6/S24 |
[23] |
ZUCCA C, TAVELLA P. The clock model and its relationship with the Allan and related variances[J]. IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control, 2005, 52(2): 289-296. DOI:10.1109/TUFFC.2005.1406554 |
[24] |
PANFILO G, TAVELLA P. Atomic clock prediction based on stochastic differential equations[J]. Metrologia, 2008, 45(6): S108-S116. DOI:10.1088/0026-1394/45/6/S16 |
[25] |
罗鹏飞, 张文明. 随机信号分析与处理[M]. 北京: 清华大学出版社, 2006. LUO Pengfei, ZHANG Wenming. Stochastic signal analysis and processing[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2006. |
[26] |
张小红, 陈兴汉, 郭斐. 高性能原子钟钟差建模及其在精密单点定位中的应用[J]. 测绘学报, 2015, 44(4): 392-398. ZHANG Xiaohong, CHEN Xinghan, GUO Fei. High-performance atomic clock modeling and its application in precise point positioning[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2015, 44(4): 392-398. DOI:10.11947/j.AGCS.2015.20140287 |
[27] |
KASDIN N J. Discrete simulation of colored noise and stochastic processes and 1/fα power law noise generation[J]. Proceedings of the IEEE, 1995, 83(5): 802-827. DOI:10.1109/5.381848 |
[28] |
盛骤, 谢式千, 潘承毅. 概率论与数理统计[M]. 4版. 北京: 高等教育出版社, 2008. SHENG Zhou, XIE Shiqian, PAN Chengyi. Probability and mathematical statistics[M]. 4th ed. Beijing: Higher Education Press, 2008. |
[29] |
WEI Ziqing, RUAN Rengui, JIA Xiaolin, et al. Satellite positioning and orbit determination system (SPODS):introduction and evaluation[J]. Journal of Geodesy and Geoinformation Science, 2018, 1(1): 25-29. |