2. 武汉大学测绘学院, 湖北 武汉 430079;
3. 中南大学地球科学与信息物理学院, 湖南 长沙 410083;
4. 有色金属成矿预测与地质环境监测教育部重点实验室, 湖南 长沙 410083;
5. 深圳大学自然资源部大湾区地理环境监测重点实验室, 广东 深圳 518060;
6. 香港理工大学土地测量及地理资讯学系, 香港 999077;
7. 自然资源部环鄱阳湖区域矿山环境监测与治理重点实验室, 江西 南昌 330013
2. School of Geodesy and Geomatics, Wuhan University, Wuhan 430079, China;
3. School of Geosciences and Info-Physics, Central South University, Changsha 410083, China;
4. Key Laboratory of Metallogenic Prediction of Nonferrous Metals and Geological Environment Monitoring, Ministry of Education, Changsha 410083, China;
5. Key Laboratory of Geo-Environmental Monitoring of Great Bay Area, MNR, Shenzhen University, Shenzhen 518060, China;
6. Department of Land Surveying and Geo-Informatics, The Hong Kong Polytechnic University, Hong Kong 999077, China;
7. Key Laboratory of Mine Environmental Monitoring and Improving around Poyang Lake, Ministry of Natural Resources, Nanchang 330013, China
高精度地表形变信息是研究地震孕震机理的必要信息。随着大地测量技术的发展，大地测量数据精度逐渐满足地表形变监测要求，在大地测量与地球物理反演领域的应用越来越广泛。从地震波数据到大地测量数据，多元化的观测数据具有不同的优势与不足[1-3]。例如，全球定位系统(GPS)数据具有高时间分辨率、水平形变监测精度高，但其空间分辨率低；合成孔径雷达干涉测量(interferometric synthetic aperture radar，InSAR)数据空间分辨率高，但其时间分辨率相对较低[4]；水准测量数据垂直形变探测精度高，但其观测点布设密度受地形等外界环境限制等。
联合多类数据进行同震滑动分布反演，可反演出更为精细、全面的滑动分布。然而，在多类观测数据联合反演时，如何有效融合各类观测数据是当前大地测量地震反演领域研究重点之一[4-5]。本文以多源数据联合反演同震滑动分布为研究背景，探讨有效、通用的相对权比的确定方法，以获得精细、准确、全面的滑动分布结果。
目前，在多源数据联合反演同震滑动分布中，对于如何确定各类观测数据之间的相对权比，已有研究方法主要有下几类：①根据数据质量、数量等因素确定相对权比[6-8]，该方法计算简单，但过于主观。②基于先验信息确定相对权比，将两类观测数据单位权方差之比或者尺度之比视为两类观测数据相对权比，该方法只考虑不同类观测数据精度问题，而良好的反演结果不仅与数据的精度有关，且与数据的空间分辨率有关[9]。③基于观测数据拟合精度最小化原则确定相对权比，该方法先根据观测数据拟合度与模型粗糙度确定联合反演过程中的正则化参数，再根据数据拟合度大小来确定各类观测数据之间的相对权比[10-11]。但是，各类观测数据之间的相对权比与正则化参数大小是相互影响的，随着各类观测数据之间相对权比大小的改变，模型粗糙度与观测数据之间的折中关系也会随着改变，使得此前所确定的正则化参数大小不准确。④基于观测数据个数以及模型不确定性确定联合反演相对权比[12-14]，设第1类数据的单位权中误差为σ01，观测数据个数为n1；第2类数据的单位权中误差为σ01，个数为n2，在联合反演中，它们所占的权重分别为：λ1=
文献[17]将HVCE法应用到多类观测数据联合反演相对权比确定中，该方法将正则化参数视为虚拟观测数据的权重，目标是统一反演过程中各类观测数据的单位权方差，该方法具有计算简单以及避免了主观确定相对权比等优势，是近年来应用较为广泛的相对权比确定方法[20-21]；然而，该方法在求解计算过程中易出现负方差[22]。针对以上问题，本文提出以下解决方案：在HVCE法确定联合反演相对权比过程中引入线性不等式约束，利用带有线性不等式约束的平差模型[23]进行求解，解决HVCE法计算过程中出现负方差问题。
1 改进的赫尔默特方差分量估计法基本原理 1.1 赫尔默特方差分量估计法在大地测量与地球物理反演领域，不同种类观测数据因观测精度不同，使联合反演结果存在一定的随机性[24]。在线性同震滑动分布反演模型中，为了获得最优估计解，通常需要一个恰当的方差矩阵，方差分量估计法为有效地融合不同精度观测数据提供有效途径。目前方差分量估计法主要有以下几种形式：赫尔默特方差分量估计(HVCE)、最小范数二次无偏估计、最优不变二次无偏估计、最小二乘方差分量估计等[25-27]。本文基于HVCE法进行研究，利用HVCE法确定联合反演相对权比，相关公式推导如下。
(1) 将正则化参数视为虚拟观测数据的权比，则联合反演函数模型可表达为
(1)
式中，d1、d2、…、dn、dv分别为各类实际观测数据对应的形变值组成的向量；G1、G2、…、Gn为各类实际观测数据对应的格林矩阵；m为断层单元滑动量；T为拉普拉斯二阶平滑矩阵(TTT为正则化矩阵)；ε1、ε2、…、εn、εv为各类数据对应的观测误差向量。
(2) 联合反演随机模型
(2)
式中，D为方差矩阵；D(obs)为实际观测数据对应的方差矩阵；D(v)为虚拟观测数据对应的方差矩阵。
(3) 观测数据权阵。P为观测数据与虚拟观测数据构成的权阵
(3)
式中，σ02为单位权方差因子。
(4) 将权阵进一步表达如下
(4)
式中，p为观测数据内部观测值的权阵，由先验信息确定；λ为不同类观测数据之间的相对权比。
(5) 最优化准则可表达为
(5)
式中, Vi=di-Gim，i=1, 2, …，v。
在利用HVCE确定联合反演相对权比过程中，需要调节不同观测数据之间的相对权比，即式(5)中λ1、λ2、…、λv的比值大小。根据赫尔默特方差分量估计推导公式，则可以写出各类观测数据单位权方差估值与残差平方和之间的关系
(6)
式中
式中，S为对称矩阵，则待估的单位权方差估值个数为n+1个，根据赫尔默特方差分量估计法原则，需要迭代求解，直到n+1个单位权方差估值近似相等时结束迭代。其中，在第j次迭代过程中第i类数据的权比可表达如下
(7)
式中，c为任意数据集第j次迭代过程中的单位权方差估值，则该类数据在迭代过程中对应的权值始终为1。
1.2 改进的方差分量估计法对于方差分量估计法中出现负方差问题，相关学者展开相应研究。其中，文献[22]给出了非负最小二乘方差分量估计，其原理在利用最小二乘方差分量估计(LS-VCE)过程中，添加非负约束条件，解决了LS-VCE法中出现的负方差问题，并将其应用到GPS数据处理中。本文针对HVCE法计算过程中出现的负方差情况，提出不等式约束的方差分量估计法进行求解(LC-HVCE)，即在式(6)中添加线性不等式约束条件
在式(6)添加线性约束条件后，可将式(6)表达为如下形式
(8)
式中，ξ为m×1维向量，其中元素大于0且接近于0(10-8~10-6)。根据最小二乘平差准则，将式(8)转换成带有线性不等式约束的二次规划问题进行求解[23]
(9)
式中，c = ξ - STS-1STW，
(10)
设β =[β1 β2 … βm]T, Dβ - c =[γ1 γ2 … γm]T, 其中γi=β1bi1+β2bi2+…+βmbim-ci, i=1, 2, …, m。因此，式(10)可以写成
(11)
对于式(11)中，若给定一组初始解：β0=[β10 β20 … βm0]T≥ 0，对于方程组
(12)
进行一次迭代，得到迭代解β0=[β10 β20 … βm0]T，若βi0≥0(i=1, 2, …, m)，则β为式(11)的可行解。若存在k(1≤k≤m)使得βk0 < 0，则方程组中第k个方程
(13)
因此，令β1=[β11 β21 … βm1]T，其中βi1=
(14)
通过以上约束便可解决HVCE法确定联合反演相对权比出现负方差情况。综上，本文利用改进的赫尔默特方差分量估计法(LC-HVCE)确定多源数据联合反演相对权比以及正则化参数具体流程可表达如下。
(1) 将观测数据分类，并进行验前权估计，即确定各类观测数据内部权，并赋予各类观测数据初始相对权比值：Pi，λ1=λ2=…=λv=1。
(2) 进行平差计算，求得ViTPiVi。
(3) 对式(6)添加线性不等式约束，并利用附有线性不等式约束条件的最小二乘估计求解各类观测数据单位权方差估值
(4) 根据式(7)更新各类观测数据相对权比λi。
(5) 重复步骤(2)—步骤(4)，直到各类单位权方差的估值近似相等为止，输出各类观测数据的相对权比λi。
2 模拟地震算例为了验证本文算法的有效性及优势，本文设计系统的模拟试验，在模拟试验中，断层参数设置如下：断层长和宽分别为30 km，断层走向角为60°，倾角为45°，断层顶深为0 km。基于以上断层参数，本文设计了模拟试验。本文模拟了49个GPS观测形变，400个InSAR观测形变数据，其数据分布如图 1所示，并分别给GPS数据及InSAR数据施加不同的随机观测误差，其观测误差符合正态分布，即对GPS数据施加期望为0，标准差为ε1的正态分布误差；对InSAR数据施加期望为0，标准差为ε2的正态分布误差。改变ε1、ε2大小，以及断层面上滑动复杂程度，利用HVCE法和LC-HVCE法确定GPS数据与InSAR数据联合反演时的相对权比与正则化参数大小见表 1，其各个方案确定的相对权比与正则化参数大小反演同震滑动分布结果如图 2所示。
|
| 图 1 模拟试验GPS与InSAR观测形变分布 Fig. 1 The distributions of GPS and InSAR deformations in simulation experiments |
| 试验 | ε1/10-3 m | ε2/10-3 m | λ1 | λ2 | λ3 |
| 试验A | 0.1 | 0.1 | 1 | 14.310 9 | -4.099 7e-05 |
| 0.1 | 0.1 | 1 | 1.811 | 3.433e-05 | |
| 试验B | 0.1 | 0.5 | 1 | 2.151 8 | -2.187e-05 |
| 0.1 | 0.5 | 1 | 2.388 | 2.979 6e-06 | |
| 试验C | 0.5 | 1 | 1 | -22.85 | 6.659 8e-05 |
| 0.5 | 1 | 1 | 71.19 | 6.693 6e-05 | |
| 试验D | 1 | 1 | 1 | 70.942 4 | 4.583 1e-04 |
| 1 | 1 | 1 | 70.942 4 | 4.583 1e-04 | |
| 试验E | 0.1 | 0.5 | 1 | -0.004 | -4.442 0e-10 |
| 0.1 | 0.5 | 1 | 0.06 | 1.425 3e-07 |
|
| 图 2 模拟试验各种方案反演同震滑动分布 Fig. 2 The inversion results of the coseismic slip distribution in synthetic experiment |
由表 1可知，随着给GPS与InSAR数据施加误差大小的改变，利用HVCE法确定各类观测数据相对权比会出现负方差现象。并且可以看出，给观测数据施加的误差越小，负方差越容易出现。显然，负方差的出现在理论上是不合理的，负方差的出现使得HVCE法确定相对权比为负。结合图 2可以发现，当负方差出现时，其同震滑动分布反演结果要远远偏离模拟值，严重地影响到同震滑动分布反演精度。而本文提出的解决负方差的LC-HVCE法避免了反演过程中负方差的出现，约束方差不为负，使得相对权比大小不为负，从而保证了同震滑动分布反演精度。由表 1试验D可知，在利用HVCE法确定联合反演相对权比过程中未出现负方差情况下，其确定的各类观测数据相对权比大小与LC-HVCE法一致，即当没有负方差出现的情况下，LC-HVCE法确定联合反演相对权比与HVCE法确定的相对权比结果是等价的。由图 2可以看出，本文提出的LC-HVCE对含有相对复杂滑动分布模型依旧是可行的。
从本文模拟试验可以看出，观测数据误差大小是导致HVCE法计算过程中出现负方差的主要原因之一。另外，文献[28]介绍各类观测数据初始权重也可导致负方差的出现。为了进一步探讨改变观测数据误差及各类观测数据的初始相对权重情况下，LC-HVCE法对HVCE法中出现负方差的有效约束情况，本文设计以下两个试验：①试验1，利用蒙特卡洛模拟方法在GPS数据及InSAR数据中施加10 000组期望为0标准差为5×10－3的正态分布随机误差。将模拟断层划分为100个子单元，并给每个单元赋予滑动量值。利用HVCE法与LC-HVCE法确定10 000组联合反演时相对权比，两种方法计算相对权比的结果如图 3所示。②试验2，在上文模拟地震试验的基础上，改变初始相对权比大小，模拟10 000次试验，利用HVCE法与LC-HVCE法确定10 000组联合反演试验中各类观测数据的相对权比，两种方法计算相对权比的结果如图 4所示。两组试验中，两种方法10 000次计算相对权比正负情况见表 2。
|
| 图 3 利用HVCE法与LC-HVCE法确定10 000次相对权比结果 Fig. 3 The results of relative weight ratios of 10 000 experiments determined by HVCE method and LC-HVCE method |
|
| 图 4 利用HVCE法与LC-HVCE法确定10 000次相对权比结果 Fig. 4 The results of relative weight ratios of 10 000 experiments determined by HVCE method and LC-HVCE method |
| 试验 | 方法 | λ1 | λ2 | λ3 |
| 试验1 | HVCE | 0 | 3591 | 6606 |
| LC-HVCE | 0 | 4 | 14 | |
| 有效约束比例*/(%) | - | 99.89 | 99.79 | |
| 试验2 | HVCE | 0 | 4186 | 4217 |
| LC-HVCE | 0 | 0 | 0 | |
| 有效约束比例*/(%) | - | 100 | 100 | |
| 注：有效约束比例指利用LC-HVCE法确定相对权比可以改善HVCE法确定相对权比时出现负方差的比例。 | ||||
由图 3、图 4及表 2可知，在改变观测数据随机误差的10 000次试验中，利用HVCE法计算λ2和λ3时，分别出现了3591和6606次负相对权比(负方差)，而利用LC-HVCE法确定λ2和λ3时，分别出现了4次和14次负的相对权比，相较于HVCE法，有效约束负方差的比例分别为99.89%和99.79%；在改变各类观测数据的初始相对权重的10 000次试验中，利用HVCE法计算λ2和λ3时，分别出现4186和4217次负方差现象，而在LC-HVCE法的约束下，所有试验均未出现负方差现象，有效约束负方差的比例均为100%。综上可知，本文提出的LC-HVCE法可以有效地改善HVCE法在确定多类观测数据联合反演相对权比确定过程中出现的负方差，且具有一定的稳定性。
3 2009年4月6日拉奎拉地震反演2009年4月6日，意大利中部拉奎拉地区发生Mw6.3级地震，据美国地质调查局(USGS)网站发布，地震震中位置为(13.334°E，42.334°N)，震源深度为8.8 km。地震造成一千余人的伤亡，大量的房屋被损毁或破坏[29]。本文联合126个GPS形变观测数据(第1类观测数据)、2536个InSAR升降轨数据(第2类观测数据)，其数据分布如图 5所示。另外，为了突出本文所提方法的优势，本文给观测数据施加期望为0，中误差为0.5×10-3 m的高斯分布随机误差，利用文献[30]通过非线性反演方法反演得到的拉奎拉地震断层的走向、倾角及断层中心位置等参数来固定断层破裂面，在此基础上将断层破裂面沿断层走向、倾向把断层长度、宽度分别扩展至30 km，并将破裂面延伸至地表，将断层面均匀剖分成2 km×2 km大小的矩形单元。利用HVCE法与LC-HVCE法确定GPS数据与InSAR数据联合反演时的相对权比与正则化参数大小见表 3，其各个方案确定的相对权比与正则化参数大小反演同震滑动分布结果如图 6所示。
|
| 图 5 拉奎拉地震GPS与InSAR观测形变分布 Fig. 5 The InSAR deformation data and GPS deformation data of the L'Aquila earthquake |
|
| 图 6 拉奎拉地震联合反演同震滑动分布结果 Fig. 6 The coseismic slip distribution inversion results of the L'Aquila earthquake |
由表 3可以看出，在拉奎拉实际震例反演中，利用HVCE、LC-HVCE法确定GPS数据与InSAR数据之间的相对权比。利用HVCE法计算过程中出现负方差情况，而本文提出的LC-HVCE法却较好地避免了负方差的出现，两种相对权比情况下，反演拉奎拉地震滑动分布结果如图 6所示。
由图 6(a)可以看出，当利用HVCE法确定的相对权比为负时，反演出的滑动分布是无序的，出现不收敛现象，反演拉奎拉地震滑动分布主要区域分布在地下5~25 km范围内，与其他机构研究结果相差较大。而本文LC-HVCE法确定的相对权比反演滑动分布结果显示拉奎拉地震主要滑动区域分布在地下4~15 km范围内，该结果与文献[34]研究结果一致；利用HVCE法反演拉奎拉地震最大滑动量为1.99 m，为其他学者研究结果的2~3倍左右；而LC-HVCE法反演最大滑动量结果为0.98 m，略小于文献[31]，文献[32]和文献[34]。对于矩震级参数，HVCE法反演结果Mw6.83，与其他机构研究结果差异较大；利用LC-HVCE法反演结果为Mw6.32，在其他机构研究范围内；文献[33]利用GPS数据反演拉奎拉地震同震滑动分布，计算矩震级大小为Mw6.32；USGS公布拉奎拉地震矩震级大小为Mw6.29；文献[34]利用GPS数据反演了拉奎拉地震同震及余震的滑动分布，反演结果为Mw6.36；文献[31]反演结果为Mw6.43；文献[32]利用InSAR数据，采用不等权拉普拉斯平滑约束反演结果为Mw6.36。
综上可以看出，不同研究机构因观测数据来源及断层模型构建差异使得反演结果略有不同。本文LC-HVCE法确定联合反演相对权比与正则化参数反演拉奎拉地震同震滑动分布结果均在其他学者研究范围内。由于利用HVCE法确定联合反演相对权比过程中出现负方差，即确定的相对权比为负，使得其反演拉奎拉地震滑动分布结果与其他机构差异较大，从而进一步说明负方差的出现会严重影响滑动分布反演精度。
4 讨论与总结本文针对利用HVCE法确定联合反演相对权比过程中出现的负方差问题，提出附有线性不等式约束条件的赫尔默特方差分量估计法，即LC-HVCE；本文设计了系统的模拟试验，并将所提方案应用在2009年4月6日拉奎拉实际地震同震滑动分布反演中，验证了本文方法的优势与可行性。通过模拟试验与实际震例试验反演，可以得出以下相关结论：模拟试验及拉奎拉实际地震反演结果表明，在利用HVCE法确定联合反演相对权比过程中易出现负方差现象，当计算过程中出现负方差时，本文提出的LC-HVCE可以解决负方差问题，保证了同震滑动分布反演精度；当未出现负方差时，LC-HVCE法与HVCE法确定相对权比具有同等效果。模拟试验、拉奎拉实际震例及蒙特卡洛随机模拟试验表明，无论观测数据误差大小及各类观测数据初始相对权比怎样改变，本文所提的LC-HVCE法在有效约束HVCE法中出现的负方差方面具有一定的稳定性，从而保证了联合多类观测数据反演同震滑动分布结果的精度。
| [1] |
JI C, HELMBERGER D, WALD D, et al. Slip history and dynamic implications of the 1999 Chi-Chi, Taiwan, earthquake[J]. Journal of Geophysical Research: Solid Earth, 2003, 108(B9): 476-482. |
| [2] |
JI C, WALD D, HELMBERGER D. Source description of the 1999 hector mine, California, earthquake, part Ⅰ: wavelet domain inversion theory and resolution analysis[J]. Bulletin of the Seismological Society of America, 2002, 92(4): 1192-1207. DOI:10.1785/0120000916 |
| [3] |
AMMON C J, JI C, THIO H K, et al. Rupture process of the 2004 Sumatra-Andaman earthquake[J]. Science, 2005, 308(5725): 1133-1139. DOI:10.1126/science.1112260 |
| [4] |
许才军. 大地测量联合反演理论和方法研究进展[J]. 武汉大学学报(信息科学版), 2001, 26(6): 555-561. XU Caijun. Progress of joint inversion on geodesy and geophysics[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2001, 26(6): 555-561. |
| [5] |
LIU Chengli, ZHENG Yong, XIONG Xiong, et al. Rupture process of the 23 October 2011 Mw7.1 van earthquake in Eastern Turkey by joint inversion of teleseismic, GPS and strong-motion data[J]. Pure and Applied Geophysics, 2015, 172(6): 1383-1396. DOI:10.1007/s00024-014-0994-5 |
| [6] |
DELOUIS B, GIARDINI D, LUNDGREN P, et al. Joint inversion of InSAR, GPS, teleseismic, and strong-motion data for the spatial and temporal distribution of earthquake slip: application to the 1999 I zmit mainshock[J]. Bulletin of the Seismological Society of America, 2002, 92(1): 278-299. DOI:10.1785/0120000806 |
| [7] |
WANG Chisheng, DING Xiaoli, SHAN Xinjian, et al. Slip distribution of the 2011 Tohoku earthquake derived from joint inversion of GPS, InSAR and seafloor GPS/acoustic measurements[J]. Journal of Asian Earth Sciences, 2012(57): 128-135. |
| [8] |
FENG Guangcai, HETLAND E A, DING Xiaoli, et al. Coseismic fault slip of the 2008 Mw 7.9 Wenchuan earthquake estimated from InSAR and GPS measurements[J]. Geophysical Research Letters, 2010(37): L01302. |
| [9] |
XU Caijun, DING Kaihua, CAI Jianqing, et al. Methods of determining weight scaling factors for geodetic-geophysical joint inversion[J]. Journal of Geodynamics, 2009, 47(1): 0-46. |
| [10] |
ZHANG Guohong, QU Chunyan, SHAN Xinjian, et al. Slip distribution of the 2008 Wenchuan Ms7.9 earthquake by joint inversion from GPS and InSAR measurements: a resolution test study[J]. Geophysical Journal International, 2011, 186(1): 207-220. DOI:10.1111/j.1365-246X.2011.05039.x |
| [11] |
申文豪, 李永生, 焦其松, 等. 联合强震记录和InSAR/GPS结果的四川九寨沟7.0级地震震源滑动分布反演及其地震学应用[J]. 地球物理学报, 2019, 62(1): 121-135. SHEN Wenhao, LI Yongsheng, JIAO Qisong, et al. Joint inversion of strong motion and InSAR /GPS data for fault slip distribution of the Jiuzhaigou 7.0 earthquake and its application in seismology[J]. Chinese Journal of Geophysics, 2019, 62(1): 121-135. |
| [12] |
JONSSON S, ZEBKER H, SEGALL P, et al. Fault slip distribution of the 1999 Mw 7.1 hector mine, California, earthquake, estimated from satellite radar and GPS measurements[J]. Bulletin of the Seismological Society of America, 2002, 92: 1377-1389. DOI:10.1785/0120000922 |
| [13] |
TAKUYA N, TETSURO I. A preliminary fault model of the 2003 July 26, M6.4 northern Miyagi earthquake, northeastern Japan, estimated from joint inversion of GPS, leveling, and InSAR data[J]. Earth, Planets and Space, 2003, 55(12): 751-757. DOI:10.1186/BF03352484 |
| [14] |
PEDERSEN R, SIGURJON J, THORA A, et al. Fault slip distribution of two June 2000 MW6.5 earthquakes in South Iceland estimated from joint inversion of InSAR and GPS measurements[J]. Earth and Planetary Science Letters, 2003, 213(3): 487-502. |
| [15] |
FUKUDA J, JOHNSON K M. A fully Bayesian inversion for spatial distribution of fault slip with objective smoothing[J]. Bulletin of the Seismological Society of America, 2008, 98(3): 1128-1146. DOI:10.1785/0120070194 |
| [16] |
FUKUDA J, JOHNSON K M. Mixed linear—non-linear inversion of crustal deformation data: Bayesian inference of model, weighting and regularization parameter[J]. Geophysical Journal International, 2010, 181(3): 1441-1458. |
| [17] |
许才军, 邓长勇, 周力璇. 利用方差分量估计的地震同震滑动分布反演[J]. 武汉大学学报(信息科学版), 2016, 41(1): 37-44. XU Caijun, DENG Changyong, ZHOU Lixuan. Co-seismic slip distribution inversion method based on the variance component estimation[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2016, 41(1): 37-44. |
| [18] |
王乐洋, 许才军, 张朝玉. 一种确定联合反演中相对权比的两步法[J]. 测绘学报, 2012, 41(1): 19-24. WANG Leyang, XU Caijun, ZHANG Chaoyu. A two-step method determine relative weight ratio factors in joint inversion[J]. Acta Geidaetica et Cartographica Sinica, 2012, 41(1): 19-24. |
| [19] |
WANG Leyang, ZHAO Xiong, GAO Hua. A method for determining the regularization parameter and the relative weight ratio of the seismic slip distribution with multi-source data[J]. Journal of Geodynamics, 2018, 118(7): 1-10. |
| [20] |
HU Jun, LI Zhiwei, DING Xiaoli, et al. Derivation of 3D coseismic surface displacement fields for the 2011 Mw 9.0 Tohoku-Oki earthquake from InSAR and GPS measurements[J]. Geophysical Journal International, 2013, 192(2): 573-585. DOI:10.1093/gji/ggs033 |
| [21] |
方进, 许才军, 温扬茂, 等. 基于方差分量估计的2015年尼泊尔M_W7.8地震同震滑动分布[J]. 地球物理学报, 2019, 62(3): 113-129. FANG Jin, XU Caijun, WEN Yangmao, et al. Co-seismic slip distribution of 2015 Gorkha(Nepal) Mw7.8 earthquake determined using the helmert variance component estimation[J]. Chinese Journal of Geophysics, 2019, 62(3): 113-129. |
| [22] |
AMIRI-SIMKOOEI AR. Non-negative least-squares variance component estimation with application to GPS time series[J]. Journal of Geodesy, 2016, 90(5): 451-466. DOI:10.1007/s00190-016-0886-9 |
| [23] |
宋迎春, 左延英, 朱建军. 带有线性不等式约束平差模型的算法研究[J]. 测绘学报, 2008, 37(4): 433-437. SONG Yingchun, ZUO Yanying, ZHU Jianjun. Research on algorithm of adjustment model with linear inequality constrained parameters[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2008, 37(4): 433-437. DOI:10.3321/j.issn:1001-1595.2008.04.006 |
| [24] |
AMIRI-SIMKOOEI A R. Application of least squares variance component estimation to errors-in-variables models[J]. Journal of Geodesy, 2013, 87(10): 935-944. |
| [25] |
AMIRI-SIMKOOEI A R. Least-squares variance component estimation: theory and GPS applications[D]. Delft: Delft University of Technology, 2007.
|
| [26] |
TEUNISSEN P J G. Towards a least-squares framework for adjusting and testing of both functional and stochastic models[J]. Mathematical Geodesy and Positioning Series, 2004(26): 267-274. |
| [27] |
TEUNISSEN P J G, AMIRI-SIMKOOEI A R. Least-squares variance component estimation[J]. Journal of Geodesy, 2008, 82(2): 65-82. |
| [28] |
XU Peiliang, SHEN Yunzhong, FUKUDA Y C, et al. Variance component estimation in linear inverse ill-posed models[J]. Journal of Geodesy, 2006, 80: 69-81. |
| [29] |
WALTERS R J, ELLIOTT J R, DAGOSTINO N, et al. The 2009 L'Aquila earthquake (Central Italy): a source mechanism and implications for seismic hazard[J]. Geophysical Research Letters, 2009, 36: 17-24. |
| [30] |
王乐洋, 李海燕, 温扬茂, 等. 地震同震滑动分布反演的总体最小二乘法[J]. 测绘学报, 2017, 46(3): 307-315. WANG Leyang, LI Haiyan, WEN Yangmao, et al. Total least squares method inversion for coseismic slip distribution[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2017, 46(3): 307-315. DOI:10.11947/j.AGCS.20160212 |
| [31] |
温扬茂, 何平, 许才军, 等. 联合Envisat和ALOS卫星影像确定L'Aquila地震震源机制[J]. 地球物理学报, 2012, 55(1): 53-65. WEN Yangmao, HE Ping, XU Caijun, et al. Source parameters of the 2009 L'Aquila earthquake, Italy from Envisat and ALOS satellite SAR images[J]. Chinese Journal of Geophysics, 2012, 55(1): 53-65. |
| [32] |
WANG Leyang, ZHAO Xiong, et al. Co-seismic slip distribution inversion with unequal weighted Laplacian smoothness constraints[J]. Geophysical Journal International, 2019, 218: 145-162. |
| [33] |
ANZIDEI M, BOSCHI E, CANNELLI V, et al. Coseismic deformation of the destructive April 6, 2009 L'Aquila earthquake (Central Italy) from GPS data[J]. Geophysical Research Letters, 2009, 36(17): L17307. |
| [34] |
CHELONI D, DAGOSTINO N, DAGOSTINO E, et al. Coseismic and initial post-seismic slip of the 2009 Mw6.3 L'Aquila earthquake, Italy, from GPS measurements[J]. Geophysical Journal International, 2010, 181(3): 1539-1546. |